33.“1+1”
１７４２年６月７日，当时还是中学教师的哥德巴赫，写信给当时侨居俄国彼得堡的数学家欧拉一封信，问道：“是否任何不小于６的偶数，均可表为两个奇素数之和？”因为哥德巴赫喜欢搞拆数游戏。２０几天后，欧拉复信写道：“任何大于６的偶数，都是两个奇素数之和。这一猜想，虽然我还不能证明它，但是我确信无疑地认为这是完全正确的定理。”这就是一直未被世人彻底解决的着名的哥德巴赫猜想，也称哥德巴赫-欧拉猜想。数学家简称这个问题为（１，１），或“１＋１”。命题简述为：
（Ａ）每一个≥６的偶数都可表为两个奇素数之和；
（Ｂ）每一个≥９的奇数都可表为三个奇素数之和。
显然，命题（Ｂ）是（Ａ）的推论。因为任何一个奇数，如减掉一个奇素数，当然就是偶数了。此时如能证明命题（Ａ），当然命题（Ｂ）就得证了。但是，这两个问题没有可逆性。命题（Ｂ）在本世纪３０年代，前苏联科学家依·维诺格拉朵夫创造了一系列估计指数和重要方法，从而使他在１９３７年，间接地证明了命题（Ｂ）。
１９３０年，会尼列尔曼用密率法证明了每一个自然数可以表为不超过ｋ个素数的和，这时Ｋ是一个固定的自然数。开始定出的ｋ＝２＋１０１０，很快就有人把它降为ｋ＝６９。利用密率法得到的最好结果是ｋ＝１８，即每一个自然数可以表为≤１８个素数的和。这里说的每一个自然数，不是充分大的自然数。这是密率法独具的优点，用其他方法（圆法和筛法）只能得出关于充分大的自然数的结论。
１９３７年，前苏联数学家维纳格拉道夫用圆法证明了每个充分大的奇素等于３个素数的和。随后有人证明这里的“充分大”可用“＞ｅＣ1６·０３８”来代替。这个数超过４００万位，是一个非常巨大的数。现在这个常数已经大大缩小，但仍然是一个很可观的大数。
在２４０多年的漫长的岁月里，有人对哥德巴赫猜想进行了大量验算工作，有人曾经验算过偶数ｘ≤５×１８８，即ｘ在５亿以内，哥德巴赫猜想都是对的。
在此期间，有些人更想过一些办法，例如折叠法，他们将自然数比着很长的梳子上的各个齿，先将代表复合数的齿全部掰掉，剩下来的，当然都是素数。然后再把同样的梳子，颠倒过来对上，如果梳子上原有的齿为偶数ｘ个，这样将１对着ｘ－１，３对着ｘ－３……ｐ对着ｘ－ｐ，（１≤ｐ≤ｘ－１）。因为在ｘ较大时，不能证明是否还存在齿对着齿情况，故问题没有解决。
此法的缺点是：先将代表复合数的齿全掰掉了。因为素数的存在是微弱地依附着较小素数及其倍数的复合数，而这点儿微弱的痕迹也给掰掉了。而这个问题，又不能从概率的办法解决，因为素数不是正态分析，而是一个确定的问题。所以他们就将ｘ确定为一定值，再每两个齿一错位。这样，一个用有限问题企图解决无限问题，当然是极其困难的。尽管如此，仍有一些人在艰苦地攀登。所以后来，他们把大于某一个很大的数（例如ｋ０＝ｅ４９ｃ)偶数，叫做大偶数，再将任一大偶数Ｎ（Ｎ＞Ｋ０)写成自然数Ｎ１与Ｎ２之和，即Ｎ＝Ｎ１＋Ｎ２。而Ｎ１与Ｎ２里素因数这个数，分别不多于ｓ与ｔ个。故简记为（ｓ，ｔ），或写成带引号的加法：“ｓ＋ｔ”，此时Ｎ１与Ｎ２可以叫做殆（接近）素数，然后将ｓ与ｔ值逐步缩小。如果一旦将ｓ，ｔ均计算到１，那时再来证明５×１０８＜Ｎ≤ｅ４９ ｃ时，（１，１）成立。这样，（１，１）问题即解决了。但是，至今没有最后解决。现将当前世界取得的名次结果，列表如下：
（s，t）年代结果获得者国别（9，9）1920布龙挪威（7，7）1924雷特马赫德（6，6）1932埃司特曼英（5，7），（4，9）1937蕾西意（3，15），（2，366）1937蕾西（5，5）1938布赫夕太勒前苏联（4，4）1940布赫夕太勒（1，C很大）1948瑞尼匈（3，4）1956王元中（3，3），（2，3）1957王元（1，5）1962潘承洞中〖3〗巴尔巴恩〖4〗前苏联（1，4）1962王元（1，4）1963潘承洞〖3〗巴尔巴恩（1，3）1963布赫夕太勒〖3〗（小）维诺格拉朵夫前苏联〖3〗波皮里意（1，2）1973陈景润中按照华林原来的猜测，ｇ（２）＝４，ｇ（３）＝９，ｇ（４）＝１９。一般地猜测：
ｇ（ｋ)＝２ｋ＋〔（x)ｋ〕－２（１)
其中〔ｘ〕表示ｘ的整数部分。
经过许多数学家的努力，除去ｋ＝４外，（１）已被证明，其中ｇ（５）＝３７是我国科学家陈景润于１９６４年证明的。
对于ｋ＝４，目前已经证明：
１９≤ｇ（４）≤２１，
并且在ｎ＜１０３１０或ｎ＞１０１４０９时，ｎ可以表示为１９个４次方的和。这已经接近于预期的目标ｇ（４）＝１９了。
人们还发现，当自然数充分大时，可以将它表为Ｇ（ｋ）个Ｋ次幂的和，这里Ｇ（ｋ）≤ｇ（ｋ）。实际上，Ｇ（ｋ）比ｇ（ｋ)小得多（当ｋ大的时候）。目前仅仅知道Ｇ（２）＝４，Ｇ（４）＝１９。对Ｇ（ｋ）进行估计是一个很艰难的问题。
34.回数猜想
一提到李白，人们都知道这是我国唐代的大诗人，如果把“李白”两个字颠倒一下，变成“白李”，这也可以是一个人的名字，此人姓白名李。像这样正着念、反着念都有意义的语言叫做回文，比如“狗咬狼”、“天和地”、“玲玲爱毛毛”，一般说来，回文是以字为单位的，也可以以词为单位写回文，回文与数学里的对称非常相似。
如果一个数，从左右两个方向来读都一样，就叫它为回文数，比如１０１，３２１２３，９９９９等都是回文数。
数学里有个有名的“回数猜想”，至今没有解决，取一个任意的十进制数，把它倒过来，并将这两个数相加，然后把这个和数再倒过来，与原来的和数相加，重复这个过程直到获得一个回文数为止。
例如６８，只要按上面介绍的方法，三步就可以得回文数１１１１。
68+86154+451605+5061111
“回数猜想”是说：不论开始时采用什么数，在经过有限步骤之后，一定可以得到一个回文数。
还没有人能确定这个猜想是对的还是错的，１９６这个三位数可能成为说明“回数猜想”不成立的反例，因为用电子计算机对这个数进行了几十万步计算，仍没有获得回文数，但是也没有人能证明这个数永远产生不了回文数。
数学家对同时是质数的回文数进行了研究，数学家相信回文质数有无穷多个，但是还没有人能证明这种想法是对的。
数学家还猜想有无穷个回文质数时，比如３０１０３和３０２０３，它们的特点是，中间的数字是连续的，而其他数字都是相等的。除１１外必须有奇数个数字，因为每个有偶数个数字的回文数，必然是１１的倍数，所以它不是质数，比如１２５５２１是一个有６位数字的回文数，按着判断能被１１整除的方法：它的所有偶数位数字之和与所有奇数位数字之和的差是１１的倍数，那么这个数就能被１１整除，１２５５２１的偶数位数字是１，５，２；而奇数位数字是２，５，1，它们和的差是：
（１＋５＋２）－（２＋５＋１）＝０，
是１１的倍数，所以１２５５２１可以被１１整除，且：
１２５５２１÷１１＝１１４１１。
因而１２５５２１不是质数。
在回文数中平方数是非常多的，比如，
１２１＝１１２，
１２３２１＝１１１２，
１２３４３２１＝１１１１２，
……
１２３４５６７８９８７６５４３２１＝１１１１１１１１１２，
你随意找一些回文数，平方数所占的比例比较大。
立方数也有类似情况，比如，１３３１＝１１３，１３６７６３１＝１１１３
这么有趣的回文数，至今还存在着许多不解之谜。
35.冰雹猜想
３０多年前，日本数学家角谷静发现了一个奇怪的现象：一个自然数，如果它是偶数，那么用２除它；如果商是奇数，将它乘以３之后再加上１，这样反复运算，最终必然得１。
比如，取自然数Ｎ＝６，按角谷静的作法有：６÷２＝３，３×３＋１＝１０，１０÷２＝５，５×３＋１＝１６，１６÷２＝８，８÷２＝４，４÷２＝２，２÷２＝１，从６开始经历了３→１０→５→１６→８→４→２→１，最后得１。
找个大数试试，取Ｎ＝１６３８４。
１６３８４÷２＝８１９２，８１９２÷２＝４０９６，４０９６÷２＝２０４８，２０４８÷２＝１０２４，１０２４÷２＝５１２，５１２÷２＝２５６，２５６÷２＝１２８，１２８÷２＝６４，６４÷２＝３２，３２÷２＝１６，１６÷２＝８，８÷２＝４，４÷２＝２，２÷２＝１，这个数连续用２除了１４次，最后还是得１。
这个有趣的现象引起了许多数学爱好者的兴趣，一位美国数学家说：“有一个时期，在美国的大学里，它几乎成了最热门的话题，数学系和计算机系的大学生，差不多人人都在研究它。”人们在大量演算中发现，算出来的数字忽大忽小，有的过程很长，比如２７算到１要经过１１２步，有人把演算过程形容为云中的小水滴，在高空气流的作用下，忽高忽低，遇冷成冰，体积越来越大，最后变成冰雹落了下来，而演算的数字最后也像冰雹一样掉下来，变成了１！选数学家把角谷静这一发现，称为“角谷猜想”或“冰雹猜想”。
这一串串数难道一点规律也没有吗？观察前面作过的两串数：
６→３→１０→５→１６→８→４→２→１；
１６３８４→８１９２→４０９６→２０４８→１０２４→５１２→２５６→１２８→６４→３２→１６→８→３→２→１。
最后的三个数都是４→２→１。
为了验证这个事实，从１开始算一下：
３×１＋１＝４，４÷２＝２，２÷２＝１。结果是１→４→２→１，转了一个小循环又回到了１，这个事实具有普遍性，不论从什么样自然数开始，经过了漫长的历程，最终必然掉进４→２→１这个循环中去，日本东京大学的米田信夫对从１到１０９９５亿１１６２万７７７６之间的所有自然数逐一做了检验，发现它们无一例外，最后都落入了４→２→１循环之中！
计算再多的数，也代替不了数学证明。“角谷猜想”目前仍是一个没有解决的悬案。
其实，能够产生这种循环的并不止“角谷猜想”，下面再介绍一个：
随便找一个四位数，将它的每一位数字都平方，然后相加得到一个答数；将答数的每一位数字再都平方，相加……一直这样算下去，就会产生循环现象。
现在以１９９８为例：
１２＋９２＋９２＋８２＝１＋８１＋８１＋６４＝２２７，
２２＋２２＋７２＝４＋４＋４９＝５７，
５２＋７２＝２５＋４９＝７４，
７２＋４２＝４９＋１６＝６５，
６２＋５２＝３６＋２５＝６１，
６２＋１２＝３６＋１＝３７，
３２＋７２＝９＋４９＝５８，
５２＋８２＝２５＋６４＝８９。
下面再经过八步，就又出现８９，从而产生了循环：
36.千古之谜
现代数论的创始人、法国大数学家费尔马（１６０１-１６６５），对不定方程极感兴趣，他在丢番图的《算术》这本书上写了不少注记。在第二卷问题８“给出一个平方数，把它表示为两个平方数的和”的那一页的空白处，他写道：“另一方面，一个立方不可能写成两个立方的和，一个四方不可能写成两个四方的和。一般地，每个大于２的幂不可能写成两个同次幂的和。”
换句话说，在ｎ＞２时，
ｘｎ＋ｙｎ＝ｚｎ（１)
没有正整数。这就是举世闻名的费尔马大定理。
“关于这个命题”，费尔马说：“我有一个奇妙的证明，但这里的空白太小了，写不下。”
人们始终未能找到弗尔马的“证明”。很多数学家攻克这座城堡，至今未能攻克。所以，费尔马大定理实际上是费尔马大猜测。人们在费尔马的书信与手稿中，只找到了关于方程
ｘ４＋ｙ４＝ｚ４（２）
无正整数解的证明，恐怕他真正证明的“大定理”也就是这ｎ＝４的特殊情况。
既然（２）无正整数解，那么方程
ｘ４ｋ＋ｙ４ｋ＝ｚ４ｋ（３）
无解（如果（３）有解，即有正整数ｘ０，ｙ０，ｚ０使
ｘ０４ｋ＋ｙ０４ｋ＝ｚ０４ｋ（３)
那么（ｘ０ｋ）４＋（ｙ０ｋ）４＝（ｚ０ｋ）４
这与（２）无解矛盾！
同理，我们只要证明对于奇素数Ｐ，不定方程
ｘｐ＋ｙｐ＝ｚｐ（４）
无正整数解，那么费尔马大定理成立（因为每个整数ｎ＞２，或者被４整除，或者有一个奇素数ｐ是它的因数）。
（４）的证明十分困难。在费尔马逝世以后９０多年，欧拉迈出了第一步。他在１７５３年８月４日给哥德巴赫的信中宣称他证明了在ｐ＝３时，（４）无解。但他发现对ｐ＝３的证明与对ｎ＝４的证时截然不同。他认为一般的证明（即证明（４）对所有的素数ｐ无正整数解）是十分遥远的。
一位化名勒布朗的女数学家索菲·吉尔曼（１７７６-１８３１）为解费尔马大定理迈出了第二步。她的定理是：
“如果不定方程
ｘ５＋ｙ５＝ｚ５
有解，那么５｜ｘｙｚ。”
人们习惯把方程（４）的讨论分成两种情况。即：如果方程
ｘｐ＋ｙｐ＝ｚｐ