4个三角形的总面积是2ab，中间那个小正方形的面积是（b－a）2，它们的和是2ab＋（b－a）2＝a2＋b2。比较这两种方法算出的结果，就有，a2＋b2＝c2。
赵爽的证法鲜明地体现了我国古代证题术的特色。这就是先对图形进行移、合、拼、补，然后再通过代数运算得出几何问题的证明。这种方法融几何代数于一体，不仅严谨，而且直观，显示出与古代西方数学完全不同的风格。
比赵爽稍晚几年，我国数学家刘徽发明了一种更巧妙的证法。
在刘徽的证法里，已经用不着进行代数运算了。
刘徽想：直角三角形3条边的平方，可以看作3个不全相等的正方形，这样，要证明勾股定理，就可以理解为要证明：两条直角边上的正方形面积之和，等于斜边上正方形的面积。
于是，刘徽首先作出两条直角边上的正方形，他把由一条直角边形成的正方形叫做“朱方”，把由另一条直角边形成的正方形叫做“青方”，然后把图中标注有“出”的那部分图形，移到标注有“入”的那些位置，就拼成了图中斜置的那个正方形。刘徽把斜置的那个正方形叫做“弦方”，它正好是由直角三角形斜边形成的一个正方形。
经过这样一番移、合、拼、补，自然而然地得出结论：
朱方十青方＝弦方。
即a2＋b2＝c2。
“青朱出入图”，这是一幅多么神奇的图啊！甚至不用去标注任何文字，只要相应地涂上朱、青两种颜色，也能把蕴含于勾股定理中的数学真理，清晰地展示在世人面前。
我国着名数学家华罗庚认为，无论是在哪个星球上，数学都是一切有智慧生物的共同语言。如果人类要与其他星球上的高级生物交流信息，最好是送去几个数学图形。其中，华罗庚特别推荐了这幅“青朱出入图”。
我们深信，如果外星人真的见到了这幅图，一定很快就会明白：地球上生活着具有高度智慧和文明的友邻，那里的人们不仅懂得“数形关系”，而且还善于几何证明。
蜜蜂的智慧
蜜蜂的勤劳是最受人们赞赏的。有人作过计算，一只蜜蜂要酿造1公斤的蜜，就得去100万朵花上采集原料。如果花丛离蜂房的平均距离是15公里，那么，每采1公斤蜜，蜜蜂就得飞上45万公里，几乎等于绕地球赤道飞行了11圈。
其实，蜜蜂不仅勤劳，也极有智慧。它们在建造蜂房时显示出惊人的数学才华，连人间的许多建筑师也感到惭愧呢！
着名生物学家达尔文甚至说：“如果一个人看到蜂房而不倍加赞扬，那他一定是个糊涂虫。”
蜂房是蜜蜂盛装蜂蜜的库房。它由许许多多个正六棱柱状的蜂巢组成，蜂巢一个挨着一个，紧密地排列着，中间没有一点空隙。
早在2200多年前，一位叫巴普士的古希腊数学家，就对蜂房精巧奇妙的结构作了细致的观察与研究。
巴普士在他的着作《数学汇编》中写道：蜂房里到处是等边等角的正多边形图案，非常匀称规则。在数学上，如果用正多边形去铺满整个平面，这样的正多边形只可能有3种，即正三角形、正方形、正六边形。蜜蜂凭着它本能的智慧，选择了角数最多的正六边形。这样，它们就可以用同样多的原材料，使蜂房具有最大的容积，从而贮藏更多的蜂蜜。
也就是说，蜂房不仅精巧奇妙，而且十分符合需要，是一种最经济的结构。
历史上，蜜蜂的智慧引起了众多科学家的注意。着名天文学家开普勒曾经指出：这种充满空间的对称蜂房的角，应该和菱形12面体的角一样。法国天文学家马拉尔弟则亲自动手测量了许多蜂房，他发现：每个正六边形蜂巢的底，都是由3个全等的菱形拼成的，而且，每个菱形的钝角都等于109°28′，锐角应该是70°32′。
18世纪初，法国自然哲学家列奥缪拉猜测：用这样的角度建造起来的蜂房，一定是相同容积中最省材料的。为了证实这个猜测，他请教了巴黎科学院院士、瑞士数学家克尼格。
这样的问题在数学上叫极值问题。克尼格用高等数学的方法作了大量计算，最后得出结论说，建造相同容积中最省材料的蜂房，每个菱形的钝角应该是109°26′，锐角都等于70°34′。
这个结论与蜂房的实际数值仅2′之差。
圆周有360°，而每1°又有60′。2′的误差是很小的。人们宽宏大量地想：小蜜蜂能够做到这一步已经很不错了，至于2′的小小误差嘛，完全可以谅解。
可是事情并没有完结。1743年，着名数学家马克劳林重新研究了蜂房的形状，得出一个令人震惊的结论：要建造最经济的蜂房，每个菱形的钝角应该是109°28′16″，锐角应该是70°31′44″。
这个结论与蜂房的实际数值吻合。原来，不是蜜蜂错了，而是数学家克尼格算错了！
数学家怎么会算错了呢？后来发现，当年克尼格计算用的对数表印错了。
小小的蜜蜂可真不简单，数学家到18世纪中叶才能计算出来、予以证实的问题，它在人类有史之前已经应用到蜂房上去了。
神奇的幻方
相传在大禹治水的年代里，陕西的洛水常常大肆泛滥。洪水冲毁房舍，吞没田园，给两岸人民带来巨大的灾难。于是，每当洪水泛滥的季节来临之前，人们都抬着猪羊去河边祭河神。每一次，等人们摆好祭品，河中就会爬出一只大乌龟来，慢吞吞地绕着祭品转一圈。大乌龟走后，河水又照样泛滥起来。
后来，人们开始留心观察这只大乌龟。发现乌龟壳有9大块，横着数是3行，竖着数是3列，每一块乌龟壳上都有几个小点点，正好凑成从1到9的数字。可是，谁也弄不懂这些小点点究竟是什么意思。
有一年，这只大乌龟又爬上岸来，忽然，一个看热闹的小孩惊奇地叫了起来：“多有趣啊，这些小点点不论是横着加，竖着加，还是斜着加，算出的结果都是15！”人们想，河神大概是每样祭品都要15份吧，赶紧抬来15头猪和15头牛献给河神……果然，河水从此再也不泛滥了。
这个神奇的故事在我国流传极广，甚至写进许多古代数学家的着作里。乌龟壳上的这些点点，后来被称作是“洛书”。一些人把它吹得神乎其神，说它揭示了数学的奥秘，甚至胡说因为有了“洛书”，才开始出现了数学。
撇开这些迷信色彩不谈，“洛书”确实有它迷人的地方。普普通通的9个自然数，经过一番巧妙的排列，就把它们每3个数相加和是15的8个算式，全都包含在一个图案之中，真是令人不可思议。
在数学上，像这样一些具有奇妙性质的图案叫做“幻方”。“洛书”有3行3列，所以叫3阶幻方。它也是世界上最古老的一个幻方。
构造3阶幻方有一个很简单的方法。首先，把前9个自然数按规定的样子摆好。接下来，只要把方框外边的4个数分别写进它对面的空格里就行了。根据同样的方法，还可以造出一个5阶幻方来，但却造不出一个4阶幻方。实际上，构造幻方并没有一个统一的方法，主要依靠人的灵巧智慧，正因为此，幻方赢得了无数人的喜爱。
历史上，最先把幻方当作数学问题来研究的人，是我国宋朝的着名数学家杨辉。他深入探索各类幻方的奥秘，总结出一些构造幻方的简单法则，还动手构造了许多极为有趣的幻方。被杨辉称为“攒九图”的幻方，就是他用前33个自然数构造而成的。
攒九图有哪些奇妙的性质呢？请动手算算：每个圆圈上的数加起来都等于多少？而每条直径上数加起来，又都等于多少？
幻方不仅吸引了许多数学家，也吸引了许许多多的数学爱好者。我国清朝有位叫张潮的学者，本来不是搞数学的，却被幻方弄得“神魂颠倒”。后来，他构造出了一批非常别致的幻方。“龟文聚六图”，就是张潮的杰作之一。图中的24个数起到了40个数的作用，使各个6边形中诸数之和都等于75。
大约在15世纪初，幻方辗转流传到了欧洲各国，它的变幻莫测，它的高深奇妙，很快就使成千上万的欧洲人如痴如狂。包括欧拉在内的许多着名数学家，也对幻方产生了浓郁的兴趣。
欧拉曾想出一个奇妙的幻方。它由前64个自然数组成，每列或每行的和都是260，而半列或半行的和又都等于130。最有趣的是，这个幻方的行列数正好与国际象棋棋盘相同，按照马走“日”
字的规定，根据这个幻方里数的排列顺序，马就可以不重复地跳遍整个棋盘！所以，这个幻方又叫“马步幻方”。
近百年来，幻方的形式越来越稀奇古怪，性质也越来越光怪陆离。现在，许多人都认为，最有趣的幻方属于“双料幻方”。它的奥秘和规律，数学家至今尚未完全弄清楚呢。
8阶幻方就是一个双料幻方。
为什么叫做双料幻方？因为，它的每一行、每一列以及每条对角线上8个数的和，都等于同一个常数840；而这样8个数的积呢，又都等于另一个常数2058068231856000。
有个叫阿当斯的英国人，为了找到一种稀奇古怪的幻方，竟毫不吝啬地献出了毕生的精力。
1910年，当阿当斯还是一个小伙子时，就开始整天摆弄前19个自然数，试图把它们摆成一个六角幻方。在以后的47年里，阿当斯食不香，寝不安，一有空就把这19个数摆来摆去，然而，经历了成千上万次的失败，始终也没有找出一种合适的摆法。1957年的一天，正在病中的阿当斯闲得无聊，在一张小纸条上写写画画，没想到竟画出一个六角幻方。不料乐极生悲，阿当斯不久就把这个小纸条搞丢了。后来，他又经过5年的艰苦探索，才重新找到那个丢失了的六角幻方。
六角幻方得到了幻方专家的高度赞赏，被誉为数学宝库中的“稀世珍宝”。马丁博士是一位大名鼎鼎的美国幻方专家，毕生从事幻方研究，光4阶幻方他就熟悉880种不同的排法，可他见到六角幻方后，也感到是大开眼界。
智判波斯猫案
一位金发妇女，看见一只全身雪白的波斯猫正蹲在马路边上，便抱起它走了。可是，没走多远，一位红头发的夫人追了上去，拦住她，说：“夫人，这是我的波斯猫，刚才一不小心，让它跑了出来，因为才养了几天，所以不认得家了。请您还给我吧！”金发妇女回答说：“这是我的波斯猫啊！您看它的一只眼睛是红的，一只眼睛是蓝的，我不会认错！”
“我的波斯猫也是一只红眼睛，一只蓝眼睛。”
“那我不清楚。反正这是我的波斯猫。”金发妇女说着，又要往前走。红头发夫人不让她走，于是两人争执起来。
正在值勤的警察马歇听了两位妇女的诉说，他无法辨别谁说的是真，谁说的是假，正觉为难，忽然灵机一动，有了主意。他从金发妇女手中抱过波斯猫，看了看猫的后脚，然后用手蒙住，说：“你们可知道，它哪只后脚上有一块小伤疤？”
两位妇女都给问住了。但金发妇女很快就说：“右脚。”马歇没松开手。她马上又说：
“哦，不！我弄错了，是左脚。”
红头发夫人只是疑惑地望着马歇，没讲一句话。
这时，马歇松开手，彬彬有礼地对金发妇女说：“夫人，这不是您的猫。”说完，把猫交给了红头发夫人。
金发妇女对马歇大喊道：“您也太草率了吧，你怎么就知道这不是我的猫呢。”
马歇笑嘻嘻地说：“夫人，这只猫的后脚并没有伤疤，我刚才是故意问的。”
这时，金发妇女才红着脸悄悄走了。
巧寻县印
清朝年间，兰溪新任知县叫黄敬。
黄知县为官清廉。谁知到任未满两个月，县印被盗。当时这印章是代表权力的象征，这事非同小可。官印失窃，这是严重的失职，如果上级官府知道了，必将受到严厉惩处。
黄知县想来想去，觉得只有一个人最为可疑。此人姓胡，是县衙的狱吏。此人经常利用职权，贪赃枉法，百姓恨之入骨。黄知县到任后，曾查处了此人。估计这姓胡的狱吏一定怀恨在心，窃走官印，报复黄知县。
但黄知县还没拿到真凭实据，姓胡的肯定不会认账。万一逼得太紧，惹得他狗急跳墙，把县印毁掉，那就浑身长满嘴巴也说不清了。这事既不能硬逼，又不能公开，非常棘手。
黄知县想来想去，只有一个办法了。那就是找个机会把空印盒给他，让他自己把县印装进去，送回来。于是，当天午夜，公堂故意失火，所有公差都来救火，胡狱吏也到了现场。黄知县见了胡狱吏，当即交给他一个任务，并把空印盒给了他。胡狱吏一看，知道上当，但已无可奈何。
第二天，胡狱吏手捧印盒，送到了知县面前。知县打开印盒一看，县印果真完整无损在里面。
螃蟹变魔术
有两只螃蟹和两条蚯蚓在大道上相遇了。经过商量，它们决定进城里去逛逛。
啊！城里真是好玩，要什么有什么。只看得它们眼花缭乱。
来到电影院，它们想再看看电影，可一摸口袋，一分钱也没有了。
怎么办？蚯蚓之一提议说：“我们设法去挣些钱怎么样？”
挣钱？那当然好！可怎么个挣法呢？还是那条蚯蚓胸有成竹地说：“我们去广场表演魔术，那儿观众多，能挣钱。”
于是，它们来到广场上，竖起一块牌子，上写：请看惊险魔术表演——斩蚯蚓。立刻，许多观众围拢来看，只见蚯蚓之一躺在场地中央，螃蟹之二举起利剪似的前足，喀嚓一声，把它斩成两段。
观众们发出一片惊呼，有几个见出了命案，就想冲上来抓住那行凶的螃蟹。
蚯蚓之二忙制止道：“别着急，请你们看！”它指着那躺着的蚯蚓说。
观众们一看都愣住了：两截断蚯蚓变成了两条有头有尾的完整蚯蚓。
“这是怎么回事？”观众们奇怪地问，“怎么会变成了两条蚯蚓？”
“怎么样？我们的惊险魔术名符其实吧？感谢各位的捧场，请有钱的给个赏钱，没钱的给个掌声。”
“哗”的一片掌声响起，观众们啧啧称奇，拼命鼓掌，同时丢下了许多钱。
螃蟹之二也跃跃欲试，它叫蚯蚓之二也在场地上躺好，高举前蟹就要下手。
“慢！”螃蟹之一阻止它道，“你知道这里面的要领吗？”
“知道！知道！”螃蟹之二随口应道，边说边照着蚯蚓之二的后部就斩下去。
螃蟹之一惊叫一声：“不好！”
螃蟹之二忙问：“怎么了？”只见螃蟹之一显出一副无可奈何的样子。
观众们都兴趣十足地注视着地上断成两截的蚯蚓，看那断蚯蚓是怎么再生的。
过一段时间，大家竟看到：那段只有尾巴没有头的蚯蚓从切断处长出的不是头，而是一条尾巴，变成了一条无头的两尾蚯蚓。
螃蟹之二呆住了，它着急地问螃蟹之一：“你斩的蚯蚓能长出头来，为什么我的不能？”
螃蟹之一说道：“在蚯蚓前五节到八节的地方斩断就能很快再生成完整的蚯蚓。在十五节以后斩断，后半截就不能长出头部了，只能长出尾巴。”
黑猫智救猩猩
猩爸爸出远门去了，家里只剩下了猩妈妈和小猩猩，偏偏这个时候，小猩猩得了急病，而且病得十分厉害，躺在床上直说胡话。
邻居猴大妈来串门，一见这情形，过去摸了摸小猩猩的额头，非常烫手，就责怪猩妈妈道：“你怎么不快去请医生呀！”
猩妈妈抽泣着说道：“我去请过医生了，可医生不在，要两天后才回来。它爸爸又不在，这可怎么办呀？”
猴大妈想了想，说：“森林站的医生不在，那只有送小猩猩去动物城的医院了，可不能在这里干等。”
猩猩妈妈又哭起来，它说：“我也这样想过，可路这么远，我根本背不动。”
“这倒也是。”猴大妈也无可奈何地说，“即使我跟你一块去，咱们两个也背不动。”